Eis a igualdade mais inútil que eu já obtive para o estudo de sucessões

E podemos definir a sucessão alfa relativa à sucessão u como sendo

Como se distribuem os números primos entre os números naturais

Dizer que entre os valores Un=30n+1 e Vn=30n+29, para um determinada ordem n existem no máximo 8 números primos demonstra-se de:

1) a união das sucessões Un=30n-29 e Vn=30n-19 contém todos os números primos terminados em 1
2) a união das sucessões Un=30n-17 e Vn=30n-7 contém todos os números primos terminados em 3 com excepção do número primo 3
3) a união das sucessões Un=30n-23 e Vn=30n-13 contém todos os números primos terminados em 7
4) a união das sucessões Un=30n-11 e Vn=30n-1 contém todos os números primos terminados em 9
5) os números primos 2, 3 e 5 são números menores que 31 ou seja números minorantes da sucessão Un=30n+1

Mas as sucessões Un=30n-29, Un=30n-23, Un=30n-19, Un=30n-17, Un=30n-13, Un=30m-11, Un=30n-7 e Un=30n-1,
contém a partir da ordem de um número resultante da sucessão p,
ou da ordem de um número resultante da sucessão que seja um número múltiplo de p,
de p em p elementos de ordem da sucessão,
um número resultante da sucessão que é um número múltiplo de p.

Cada uma das 8 sucessões contém múltiplos de 7, de 7 em 7 elementos da sucessão e

para a sucessão Un=30n-11 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 2,  9, 16, ...} ou seja n=7m-5

para a sucessão Un=30n-13 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 3, 10, 17, ...} ou seja n=7m-4

para a sucessão Un=30n-29 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 4, 11, 18, ...} ou seja n=7m-3

para a sucessão Un=30n-17 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 5, 12, 19, ...} ou seja n=7m-2

para a sucessão Un=30n-19 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 6, 13, 20, ...} ou seja n=7m-1

para a sucessão Un=30n-7  o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 7, 14, 21, ...} ou seja n=7m

para a sucessão Un=30n-23 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 8, 15, 22, ...} ou seja n=7m+1

Porque para n=1 o conjunto contém o número 1 que não é um número primo,

podemos concluir que para qualquer n>1 um dos elementos de uma das sucessões acima é obrigatoriamente um número múltiplo de 7

Fica então demonstrado que entre os valores Un=30n+1 e Vn=30n+30,

para qualquer número de ordem n que seja determinado, existem no máximo 7 números primos.

Ou seja, que com excepção dos primeiros 30 números naturais [1, 30], 

todos os outros grupos de trinta números naturais subsequentes,

definidos por [30n, 30n+30], contém no máximo 7 números primos.

Ou seja a quantidade dos primos p em relação à quantidade de números naturais n, 

é inferior a 7 números primos por cada 30 números naturais 

ou seja a cardinalidade dos números naturais sobre a cardinalidade dos números primos é

estritamente superior a 30/7 ou seja superior a 4,(285714) números naturais por cada número primo.

A partir do estudo dos números múltiplos dos números primos existentes na sucessão u_n=2x3x5n-29, deduz-se que a probabilidade de um número natural n ser primo pode ser dada por

Que tende por hipótese  para zero, quando n tende para infinito e então

Como

fazendo

Podemos reescrever o multiplicatório relacionando-o com esta sucessão que é uma função de pk e reescrever o somatório do múltiplicatório na forma

E de 1/7+(1-1/7)/11+(1-1/7)(1-1/11)/13+(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)/17+…=1

A probabilidade de um número natural maior ou igual a 7 ser um número primo vém então aproximadamente igual a 

E resolvendo o somatório em função de alfa obtemos

E considerando pk≥7 podemos ajustar α(pk) a uma sucessão aproximada do tipo

Em que a1≈0,00025, a2≈0,99877, a3≈0,00127,  a4≈0,448154823950443 e a5≈0,82772

Como todos os parâmetros acima afectam alfa linearmente, podemos fixar 4 e aproximar alfa pela variação de apenas um dos parâmetros.

Assim escolhemos para este efeito o parâmetro a4.

Podemos ainda escrever alfa na forma

Em que x é a  maior solução de entre as duas soluções da seguinte função quadrática

A aproximação da sucessão acima à sucessão real de alfa verifica a inequação abaixo

Ou seja

Análise da razão entre os números inteiros e os números primos #N/#P=?

Análise da razão entre os números inteiros e os números primos #N/#P=?

n/2 - quantidade dos números pares no conjunto dos inteiros logo é a cardinalidade dos números inteiros que são pares.

n/6 - quantidade dos múltiplos de 3 que não são múltiplos de 2 nos inteiros logo é a cardinalidade dos números inteiros que são múltiplos de 3 e não são pares.

n/15 - quantidade dos múltiplos de 5 que não são nem múltiplos de 2 nem múltiplos de 3 nos inteiros logo é a cardinalidade dos números inteiros que são múltiplos de 5 e que não são nem múltiplos de 2 nem múltiplos de 3.

4n/1065 - quantidade de múltiplos de 71 que não são nem múltiplos de 2 nem de 3 nem de 5 nos números inteiros logo é a cardinalidade dos números inteiros que são múltiplos de 71 e que não são múltiplos nem de 2 nem de 3 nem de 5.

Existem 2130/30*8-1=567 sucessões do tipo 2130n-m, em que m é um ímpar menor que 2130, que contém cada uma delas primos terminados ou em 1 ou em 3 ou em 7 ou em 9 e que contém ainda números múltiplos de todos os primos que são diferentes de 2, 3, 5 e 71.

Estas sucessões são todas similares na forma como representam o menor factor múltiplo de cada um dos números não primos destas sucessões, sendo que estes factores são sempre diferentes de 2, 3, 5 e de 71.

Em cada uma destas sucessões em cada intervalo de 7 números existe um múltiplo de 7.

Em cada uma destas sucessões em cada intervalo de 11 números existe um múltiplo de 11.

Em cada uma destas sucessões em cada intervalo de 13 números existe um múltiplo de 13.  

   

E de uma forma geral podemos dizer que para qualquer uma destas sucessões em cada intervalo de p números existe um múltiplo de p para p primo diferente de 2, 3, 5 e 71.

É de notar que cada um destes múltiplos de p pode ser ainda múltiplo de um ou de mais outros números primos o que dificulta o cálculo da sua cardinalidade.

O conjunto dos números que não são primos está incluído nos números naturais e tem de ter uma cardinalidade inferior à cardinalidade dos números naturais.

A quantidade dos factores múltiplos mais pequenos de cada um dos números não primos destas sucessões, pode ser facilmente obtida em função do número de ordem a partir do seguinte desenvolvimento.

=1/7

=1/11-1/7/11

=1/13-1/7/13-1/11/13+1/7/11/13

=1/17-1/7/17-1/11/17+1/7/11/17-1/13/17+1/7/13/17+1/11/13/17-1/7/11/13/17

=1/19-1/7/19-1/11/19+1/7/11/19-1/13/19+1/7/13/19+1/11/13/19-1/7/11/13/19-1/17/19+1/7/17/19+1/11/17/19+1/13/17/19-1/7/11/17/19-1/7/13/17/19-1/11/13/17/19+1/7/11/13/17/19

=1/23-1/7/23-1/11/23+1/7/11/23-1/13/23+1/7/13/23+1/11/13/23-1/7/11/13/23-1/17/23+1/7/17/23+1/11/17/23+1/13/17/23-1/7/11/17/23-1/7/13/17/23-1/11/13/17/23+1/7/11/13/17/23-1/19/23+1/7/19/23+1/11/19/23+1/13/19/23+1/17/19/23-1/7/11/19/23-1/7/13/19/23-1/7/17/19/23-1/11/13/19/23-1/11/17/19/23-1/13/17/19/23+1/7/11/13/19/23+1/7/11/17/19/23+1/7/13/17/19/23+1/11/13/17/19/23-1/7/11/13/17/19/23

...

Como

f(k)=t(k)(1-1/p(k))

Sendo

t(1)=1/p(1)

E como

t(k+1)=p(k)*t(k)/p(k+1)

Então

f(k+1)=p(k)*t(k)/p(k+1)(1-1/p(k+1))

Problema do carteiro

O problema do carteiro é dos mais simples de resolver porque o caminho óptimo se obtém sempre da mesma maneira.

Devem ser definidas fronteiras de forma a contornarem os constrangimentos.

Uma fronteira ao contornar um constrangimento herda os pontos do raio que em teoria pertenceriam a fronteiras mais interiores.

Um constrangimento total é o que obriga a um percurso pelo raio até à origem e neste caso a fronteira deve passar a conter também o ponto da origem.

As  fronteiras devem ser classificadas por ordem de exterioridade sendo a fronteira mais externa a 1 e o ponto de origem a enésima fronteira, chamamos a estas fronteiras, tenham elas a forma que tiverem círculos do carteiro.

O conjunto das fronteiras definidos deve passar por todos os pontos que se pretendam alcançar.

Cada fronteira definida só pode conter os seus próprios pontos ou o ponto de origem e mais nenhum ponto de outra fronteira.

Solução do carteiro

O carteiro começa por ir até ao primeiro círculo do carteiro, pelo raio do carteiro mais curto possível, e que atravesse o menor número de círculos do carteiro, desde o enésimo, a origem,  até ao primeiro, o círculo do carteiro número 1.

Depois percorre o círculo do carteiro num dos sentidos possíveis, o que é indiferente, ou o horário ou o anti-horário.

Quando a próxima casa, for uma das casas já visitadas, então percorre a perpendicular a este círculo, o raio, até ao primeiro ponto do novo círculo mais interior, e percorre este círculo no sentido contrário ao sentido utilizado para percorrer o círculo anterior, até que a próxima casa seja uma das casas já visitados, e repete o processo até chegar à origem e ter todas as casas já visitadas.

O pior cenário, é o caso dos constrangimentos serem tantos que todos os movimentos se façam pelos raios e não pelos círculos, e neste caso e só neste caso, o número de passagens pela casa de origem será igual ao dobro do número de pontos da fronteira exterior, sem contar com o ponto de origem, a percorrer.

No melhor cenário a casa de origem só será ponto de partida e de chegada e não estará contido por nenhum círculo do carteiro.

A demonstração passa por serem  verdadeiras as seguintes afirmações:

1.   A curva mais compacta que existe num plano é o circulo;
2.   A distância mais curta entre dois círculos é a diferença entre os seus raios;

Acrescentar um novo ponto de passagem

Se já estiver estabelecido um percurso para o carteiro, ao adicionar-se uma casa ao percurso, a solução mais viável para refazer o percurso do carteiro é adicionar essa casa a um dos círculos do carteiro previamente definidos e reordenar os pontos desse círculo.

Ou seja o problema do carteiro é linear e não exponencial, porque pode ser reduzido à soma de funções lineares como o é a função do perímetro, funções do tipo 2πr, ou seja, em que os números de casas de cada círculo é proporcional ao raio desse círculo, sendo que se a casa a acrescentar for de uma fronteira mais exterior se tem de renumerar no máximo todos os pontos dessa fronteira, e apenas os pontos dessa fronteira.

Números Primos

Breve estudo dos números primos

Aproximação aos números primos

Obtendo para quantidades variáveis de números primos uma aproximação a uma expressão polinomial do quarto grau do tipo

para os elementos ordenados do conjunto dos primos que denominaremos por  

e analisando a variação dos coeficientes obtidos como sendo funções de potências para a₁, a₂, a₃

e uma função logarítmica para o parâmetro linear no formato  

e considerando o último coeficiente na forma

obtemos as seguintes funções 

As quais podemos aproximar à função linear acima apresentada.

Subtraindo aos primos  os valores desta função e dividindo por x e aproximando os valores resultantes à função logarítmica no formato

Obtemos

Basta agora voltar a multiplicar por x e somar a função linear anteriormente obtida e obtemos a função com o menor número de parâmetros e com o menor desvio para esta quantidade de parâmetros que se aproxima de todos os números primos como sendo

O gráfico da diferença  entre os valores desta função e o correspondente número primo é uma função aleatória como se ilustra 

E se  pretendermos estudar, como realmente pretendíamos, estes desvios dos números primos a esta função,  temos uma tarefa impossível, porque somos confrontados com uma variável aleatória.

Abordagem periódica à análise dos números primos 

Se fizermos o cosseno dos valores da sucessão de números primos o gráfico que se nos apresenta é o que se ilustra abaixo e ele já não parece tão aleatório

É fácil verificar que o período destas 23 sub-sucessões de cossenos ao redor das quais se distribuem os números primos é de  

Os valores iniciais a atribuir a cada uma destas sub-sucessões do tipo 

são dados por





e podem ser calculado a partir dos pontos dos gráficos que se apresentam abaixo,  que são a resultante

das sub-sucessões obtidas por

que denominei de sub-sucessões resolventes dos números primos

A  melhor aproximação que obtive para o valor inicial é a=-844,375228726084

Esta tabela é o resultado parcial da distribuição dos primos por aproximação às sub-sucessões anteriores 

A distribuição dos números primos por estas 23 sub-sucessões tem o gráfico de probabilidades que se segue para os primeiros 10000 primos

Se o gráfico de distribuição dos números primos por estas 23 sub-sucessões será ou parece vir a ser um gráfico uniformemente distribuído em torno do valor 4,34782608695652 como se espera de uma variável aleatória, já o gráfico de probabilidade do valor primo seguinte se encontrar  numa das 23 sub-sucessões definidas não tem nada de uniforme como se pode constatar, o que serve para demonstrar que existe um condicionamento entre o valor de um primo e o valor que pode tomar o primo seguinte de acordo com o quadro seguinte e os gráficos que o representam

Gráfico que na vista de topo permite perceber a verdadeira dimensão da relação entre um número primo e o número primo seguinte

O gráfico acima mostra que existe uma forte tendência para que a os números primos consecutivos se  encontrarem em sub-sucessões consecutivas privilegiando um dos sentidos, ou o  ascendente ou o descendente.

A análise de todos os resultados de arccos(cos(primos)) permite o seguinte desenvolvimento

Não sendo condição suficiente é condição necessária para que um número seja primo, com a excepção do número primo 2, que verifique uma de quatro equações de identidade abaixo escritas

Comecemos por definir um conjunto de variáveis auxiliares

As expressões de identidade das quais é necessário cumprir uma para que um número possa ser primo podem ser escritas então como

Um número que seja um número primo tem ainda de verificar a condição

Sabemos ainda que um número primo, com as excepções  dos números primos 2 e 3, tem também de verificar um dos módulos seguintes

Podemos ainda excluir dos números primos todos os números que são divisíveis por 3 com excepção do próprio 3

Apresentamos um quadro com alguns valores das distribuições dos primos para uma parte da primeira condição

Os números que verificam as duas condições de identidade resultantes  b1(8,±a) são todos múltiplos de 71.

O número primo 71 encontra-se solitário na condição b3(22,+a) e a condição b3(22,-a) não contém primos tal como não os contém as condições b1(8,±a).

Apresento a lista ordenada de todos os valores para o primeiro primo  existente em b1, b3, b7 e b9 para todos os n e para ±a

p1(k,b3(27,+a))=p1(k,461)

p2(k,b1(23,+a))=p2(k,1667)

p3(k,b7(26,-a))=p3(k,1091)

p4(k,b3(11,+a))=p4(k,491)

p5(k,b1(2,-a))=p5(k,113)

p6(k,b3(23,-a))=p1(k,419)

p7(k,b9(2,+a))=p7(k,773)

p8(k,b1(24,-a))=p8(k,953)

p9(k,b1(10,+a))=p9(k,227)

p10(k,b3(6,-a))=p10(k,1319)

p11(k,b9(4,+a))=p11(k,503)

p12(k,b7(14,+a))=p12(k,1949)

p13(k,b7(20,-a))=p13(k,281)

p14(k,b1(13,-a))=p14(k,2663)

p15(k,b9(9,+a))=p15(k,3023)

p16(k,b7(1,-a))=p16(k,911)

p17(k,b9(33,-a))=p17(k,1637)

p18(k,b1(25,-a))=p18(k,23)

p19(k,b3(34,-a))=p19(k,839)

p20(k,b1(27,+a))=p20(k,3257)

p21(k,b1(16,-a))=p21(k,2003)

p22(k,b3(36,+a))=p22(k,311)

p23(k,b3(13,+a))=p23(k,2351)

p24(k,b1(12,+a))=p24(k,2087)

p25(k,b1(18,+a))=p25(k,1277)

p26(k,b3(32,-a))=p26(k,569)

p27(k,b9(14,+a))=p27(k,1283)

p28(k,b9(34,-a))=p28(k,2837)

p29(k,b9(30,-a))=p29(k,167)

p30(k,b1(26,+a))=p30(k,197)

p31(k,b1(13,+a))=p31(k,887)

p32(k,b1(15,+a))=p32(k,617)

p33(k,b9(16,+a))=p33(k,1013)

p34(k,b9(18,+a))=p34(k,743)

p35(k,b3(4,-a))=p35(k,1049)

p36(k,b3(25,+a))=p36(k,2861)

p37(k,b7(31,+a))=p37(k,719)

p38(k,b1(29,+a))=p38(k,857)

p39(k,b9(27,+a))=p39(k,593)

p40(k,b9(7,+a))=p40(k,1163)

p41(k,b9(21,-a))=p41(k,17)

p42(k,b3(17,+a))=p42(k,1811)

p43(k,b9(32,+a))=p43(k,983)

p44(k,b1(6,+a))=p44(k,2897)

p45(k,b7(6,-a))=p45(k,521)

p46(k,b9(1,+a))=p46(k,1973)

p47(k,b7(11,+a))=p47(k,1289)

p48(k,b1(35,+a))=p48(k,47)

p49(k,b1(36,-a))=p49(k,443)

p50(k,b7(24,-a))=p50(k,821)

p51(k,b1(34,+a))=p51(k,5507)

p52(k,b3(28,-a))=p52(k,29)

p53(k,b3(21,-a))=p53(k,149)

p54(k,b9(11,+a))=p54(k,2753)

p55(k,b9(7,-a))=p55(k,257)

p56(k,b9(15,-a))=p56(k,3467)

p57(k,b3(9,+a))=p57(k,761)

p58(k,b3(33,+a))=p58(k,3911)

p59(k,b1(26,-a))=p59(k,1223)

p60(k,b1(4,-a))=p60(k,383)

p61(k,b1(31,+a))=p61(k,587)

p62(k,b3(3,-a))=p62(k,1979)

p63(k,b3(5,+a))=p63(k,1301)

p64(k,b3(14,+a))=p64(k,1151)

p65(k,b3(35,+a))=p65(k,1511)

p66(k,b7(34,-a))=p66(k,41)

p67(k,b9(13,+a))=p67(k,353)

p68(k,b1(2,+a))=p68(k,1307)

p69(k,b1(35,-a))=p69(k,1373)

p70(k,b7(28,+a))=p70(k,59)

p71(k,b1(34,-a))=p71(k,173)

p72(k,b9(3,-a))=p72(k,1847)

p73(k,b3(6,+a))=p73(k,101)

p74(k,b7(10,+a))=p74(k,359)

p75(k,b9(20,-a))=p1(k,947)

p76(k,b3(7,+a))=p76(k,1031)

p77(k,b1(20,+a))=p77(k,3137)

p78(k,b7(15,-a))=p78(k,1381)

p79(k,b9(20,+a))=p79(k,3313)

p80(k,b1(4,+a))=p80(k,1747)

p81(k,b7(5,-a))=p81(k,31)

p82(k,b9(12,-a))=p1(k,577)

p83(k,b1(20,-a))=p83(k,1123)

p84(k,b1(9,+a))=p84(k,7)

p85(k,b1(19,+a))=p85(k,787)

p86(k,b1(28,-a))=p86(k,73)

p87(k,b3(15,+a))=p87(k,661)

p88(k,b3(3,+a))=p88(k,151)

p89(k,b3(25,-a))=p89(k,1399)

p90(k,b7(19,+a))=p90(k,919)

p91(k,b1(5,-a))=p91(k,163)

p92(k,b7(14,-a))=p92(k,181)

p93(k,b9(5,+a))=p93(k,13)

p94(k,b9(21,+a))=p94(k,2113)

p95(k,b7(22,+a))=p95(k,1579)

p96(k,b7(26,+a))=p1(k,1039)

p97(k,b3(35,-a))=p97(k,619)

p98(k,b9(32,-a))=p98(k,5407)

p99(k,b7(9,+a))=p99(k,139)

p100(k,b1(31,-a))=p1(k,1543)

p101(k,b3(20,-a))=p1(k,1789)

p102(k,b9(19,+a))=p102(k,2383)

p103(k,b9(35,-a))=p103(k,487)

p104(k,b3(28,+a))=p104(k,4231)

p105(k,b9(34,+a))=p1(k,3)

p106(k,b3(18,+a))=p1(k,1321)

p107(k,b3(12,-a))=p107(k,709)

p108(k,b3(2,-a))=p1(k,1489)

p109(k,b3(30,+a))=p1(k,1831)

p110(k,b7(2,-a))=p110(k,691)

p111(k,b9(24,-a))=p1(k,67)

p112(k,b1(17,-a))=p112(k,1783)

p113(k,b7(35,-a))=p1(k,1951)

p114(k,b9(28,-a))=p114(k,607)

p115(k,b7(27,-a))=p1(k,3001)

p116(k,b1(30,+a))=p116(k,367)

p117(k,b9(9,-a))=p117(k,1237)

p118(k,b1(3,-a))=p118(k,4153)

p119(k,b3(19,-a))=p119(k,2719)

p120(k,b3(19,+a))=p120(k,2251)

p121(k,b1(14,-a))=p121(k,313)

p122(k,b7(8,+a))=p122(k,3469)

p123(k,b9(23,-a))=p123(k,997)

p124(k,b7(15,+a))=p124(k,1459)

p125(k,b9(19,-a))=p125(k,457)

p126(k,b9(28,+a))=p126(k,103)

p127(k,b9(24,+a))=p127(k,643)

p128(k,b1(18,-a))=p128(k,853)

p129(k,b3(31,-a))=p129(k,79)

p130(k,b7(19,-a))=p130(k,4051)

p131(k,b7(4,+a))=p1(k,1879)

p132(k,b3(27,-a))=p1(k,1669)

p133(k,b7(21,-a))=p133(k,61)

p134(k,b3(34,+a))=p134(k,1291)

p135(k,b3(21,+a))=p135(k,4111)

p136(k,b3(24,-a))=p1(k,199)

p137(k,b1(9,-a))=p137(k,2833)

p138(k,b7(8,-a))=p138(k,3631)

p139(k,b7(29,+a))=p1(k,1699)

p140(k,b7(2,+a))=p140(k,19)

p141(k,b1(7,+a))=p1(k,277)

p142(k,b1(21,-a))=p142(k,193)

p143(k,b7(7,-a))=p143(k,1721)

p144(k,b7(27,+a))=p144(k,1259)

p145(k,b9(22,-a))=p145(k,1217)

p146(k,b3(9,-a))=p146(k,659)

p147(k,b7(18,-a))=p147(k,11)

p148(k,b7(17,+a))=p148(k,479)

p149(k,b7(12,-a))=p149(k,3461)

p150(k,b3(14,-a))=p150(k,269)

p151(k,b7(35,+a))=p151(k,179)

p152(k,b1(17,+a))=p152(k,347)

p153(k,b9(23,+a))=p153(k,5393)

p154(k,b9(11,-a))=p154(k,797)

p155(k,b1(25,+a))=p1(k,3527)

p156(k,b7(28,-a))=p156(k,1361)

p157(k,b3(26,-a))=p157(k,1889)

p158(k,b1(23,-a))=p158(k,463)

p159(k,b3(8,+a))=p1(k,541)

p160(k,b1(1,+a))=p160(k,1087)

p161(k,b7(16,+a))=p161(k,2389)

p162(k,b9(26,+a))=p162(k,373)

p163(k,b3(17,-a))=p163(k,6709)

p164(k,b7(25,+a))=p164(k,109)

p165(k,b7(30,-a))=p165(k,211)

p166(k,b9(29,+a))=p166(k,1033)

p167(k,b7(34,+a))=p167(k,2089)

p168(k,b1(11,-a))=p168(k,263)

p169(k,b9(25,-a))=p169(k,557)

p170(k,b7(16,-a))=p170(k,1871)

p171(k,b7(5,+a))=p171(k,2099)

p172(k,b9(14,-a))=p172(k,137)

p173(k,b7(18,+a))=p173(k,1409)

p174(k,b9(13,-a))=p174(k,1777)

p175(k,b9(10,-a))=p1(k,307)

p176(k,b3(32,+a))=p176(k,3691)

p177(k,b9(8,+a))=p177(k,673)

p178(k,b1(30,-a))=p1(k,2473)

p179(k,b7(25,-a))=p179(k,601)

p180(k,b9(27,-a))=p180(k,827)

p181(k,b7(6,+a))=p1(k,1609)

p182(k,b9(26,-a))=p182(k,337)

p183(k,b1(10,-a))=p183(k,1193)

p184(k,b7(20,+a))=p184(k,5399)

p185(k,b3(29,-a))=p1(k,1229)

p186(k,b1(3,+a))=p186(k,107)

p187(k,b7(33,+a))=p187(k,449)

p188(k,b7(24,+a))=p188(k,599)

p189(k,b3(8,-a))=p189(k,3719)

p190(k,b3(16,+a))=p190(k,881)

p191(k,b3(18,-a))=p191(k,809)

p192(k,b3(1,+a))=p192(k,421)

p193(k,b7(7,+a))=p193(k,409)

p194(k,b7(10,-a))=p194(k,1061)

p195(k,b3(12,+a))=p195(k,2131)

p196(k,b9(1,-a))=p196(k,157)

p197(k,b7(13,-a))=p197(k,401)

p198(k,b7(22,-a))=p198(k,3391)

p199(k,b9(15,+a))=p199(k,83)

p200(k,b1(33,+a))=p200(k,317)

p201(k,b9(22,+a))=p201(k,2333)

p202(k,b7(4,-a))=p202(k,251)

p203(k,b1(27,-a))=p203(k,293)

p204(k,b3(20,+a))=p204(k,1051)

p205(k,b1(5,+a))=p205(k,547)

p206(k,b3(26,+a))=p206(k,241)

p207(k,b1(29,-a))=p207(k,563)

p208(k,b9(2,-a))=p208(k,647)

p209(k,b7(11,-a))=p209(k,131)

p210(k,b9(17,-a))=p210(k,1607)

p211(k,b7(21,+a))=p211(k,2069)

p212(k,b9(18,-a))=p212(k,677)

p213(k,b7(3,-a))=p213(k,1181)

p214(k,b3(7,-a))=p214(k,389)

p215(k,b7(29,-a))=p215(k,431)

p216(k,b3(23,+a))=p216(k,5261)

p217(k,b3(11,-a))=p217(k,929)

p218(k,b1(24,+a))=p218(k,467)

p219(k,b3(4,+a))=p219(k,6761)

p220(k,b9(10,+a))=p220(k,1823)

p221(k,b1(33,-a))=p221(k,1103)

p222(k,b3(1,-a))=p222(k,1709)

p223(k,b7(3,+a))=p223(k,239)

p224(k,b9(6,-a))=p1(k,1187)

p225(k,b7(31,-a))=p225(k,701)

p226(k,b1(28,+a))=p226(k,2767)

p227(k,b9(17,+a))=p227(k,523)

p228(k,b7(23,-a))=p228(k,331)

p229(k,b9(30,+a))=p229(k,4093)

p230(k,b1(21,+a))=p230(k,2647)

p231(k,b1(14,+a))=p231(k,397)

p232(k,b7(30,+a))=p232(k,499)

p233(k,b7(23,+a))=p233(k,379)

p234(k,b1(16,+a))=p234(k,127)

p235(k,b1(11,+a))=p235(k,1867)

p236(k,b1(15,-a))=p236(k,3643)

p237(k,b1(1,-a))=p237(k,1753)

p238(k,b9(3,+a))=p238(k,283)

p239(k,b3(16,-a))=p239(k,1249)

p240(k,b7(32,+a))=p240(k,229)

p241(k,b3(10,+a))=p241(k,271)

p242(k,b3(10,-a))=p242(k,439)

p243(k,b1(12,-a))=p243(k,43)

p244(k,b9(33,+a))=p244(k,1913)

p245(k,b7(12,+a))=p245(k,89)

p246(k,b1(22,-a))=p246(k,683)

p247(k,b9(8,-a))=p247(k,37)

p248(k,b9(35,+a))=p248(k,223)

p249(k,b3(13,-a))=p249(k,3329)

p250(k,b7(9,-a))=p250(k,571)

p251(k,b3(29,+a))=p251(k,191)

p252(k,b9(6,+a))=p252(k,233)

p253(k,b1(32,+a))=p253(k,97)

p254(k,b7(33,-a))=p254(k,971)

p255(k,b7(13,+a))=p255(k,1019)

p256(k,b1(36,+a))=p256(k,977)

p257(k,b9(12,+a))=p257(k,1553)

p258(k,b1(6,-a))=p258(k,653)

p259(k,b9(31,-a))=p259(k,1367)

p260(k,b3(36,-a))=p1(k,1109)

p261(k,b7(32,-a))=p261(k,1901)

p262(k,b7(1,+a))=p262(k,509)

p263(k,b9(29,-a))=p263(k,1097)

p264(k,b9(31,+a))=p264(k,53)

p265(k,b9(4,-a))=p265(k,1627)

p266(k,b1(7,-a))=p266(k,433)

p267(k,b1(22,+a))=p267(k,1447)

p268(k,b3(30,-a))=p268(k,1009)

p269(k,b3(31,+a))=p269(k,631)

p270(k,b3(33,-a))=p270(k,349)

p271(k,b9(25,+a))=p271(k,863)

p272(k,b7(17,-a))=p272(k,941)

p273(k,b3(5,-a))=p273(k,829)

p274(k,b9(16,-a))=p274(k,1117)

p275(k,b1(19,-a))=p275(k,2053)

p276(k,b3(2,+a))=p276(k,641)

p277(k,b1(32,-a))=p1(k,613)

p278(k,b9(5,-a))=p278(k,4957)

p279(k,b3(24,+a))=p279(k,1931)

p280(k,b3(15,-a))=p280(k,2179)

p281(k,b3(22,+a))=p281(k,71)

p282(k,b3(22,-a))=p282(k,0)

p283(k,b1(8,-a))=p283(k,0)

p284(k,b1(8,+a))=p284(k,0)

Fazendo o gráfico dos k dos 10000 primeiros primos que verificam as condições acima, ordenando as condições pelas curvas logarítmicas do tipo 

que representam a variação dos k para os primos de cada condição obtemos o gráfico seguinte.

Se este padrão for definido, e não tiver nenhum factor aleatório,  e puder ser produzido, e estendido ao infinito, por um algoritmo que não o processo de apuramento pelo conhecimento dos 10000 primeiros primos que o produziu, pudemos afirmar que é possível determinar à priori todos os números primos.

Isolando o padrão dos k correspondentes aos números primos para as primeiras catorze condições ordenadas obtemos um quadro nada promissor de uma solução porque à primeira vista voltamos a ter um padrão verdadeiramente aleatório.

Coisas que por enquanto só eu sei

Se ao adicionarmos a um número primo 710 o resultado for um número primo, então a soma de 710 a esse número primo nunca resulta num número primo.

Existem infinitos pares de primos equidistantes entre si pelo valor de 710, mas não existe nenhum trio de números primos separados entre si  pelo valor de 710.

Só existe um quinteto de números primos equidistantes entre si de 6, que contém os dois únicos quartetos existentes equidistantes entre si de 6, que é o quinteto formado pelos números primos  

5, 11, 17, 23 e 29. 

Sabemos que os valores inteiros das semi-rectas definidas por b=número primo e m=2130, com a excepção dos valores inteiros das semi-recta 

p=71+2130k e p=5+2130k, p=3+2130k e p=2+2130k, 

que só contém respectivamente apenas o número primo 71, o número primo 5, o número primo 3 e o número primo 2, todas as outras contém infinitos números primos.

Sabemos ainda que compilando todas as semi-rectas distinctas que começam pelos 564 números primos da lista abaixo, 564=280x2+4, isto se incluirmos as semi-rectas 

p(k)=71+2130k, p(k)=5+2130k, p(k)=3+2130k e p(k)=2+2130k , 

o conjunto de todas estas semi-rectas contém todos os infinitos números primos que existem.

Pi ∈ {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109, 113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233, 239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367, 373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499, 503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647, 653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809, 811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953, 967,971,977,983,991,997,1009,1013,1019,1021,1031,1033,1039,1049,1051,1061,1063,1069, 1087,1091,1093,1097,1103,1109,1117,1123,1129,1151,1153,1163,1171,1181,1187,1193,1201, 1213,1217,1223,1229,1231,1237,1249,1259,1277,1279,1283,1289,1291,1297,1301,1303,1307, 1319,1321,1327,1361,1367,1373,1381,1399,1409,1423,1427,1429,1433,1439,1447,1451,1453, 1459,1471,1481,1483,1487,1489,1493,1499,1511,1523,1531,1543,1549,1553,1559,1567,1571, 1579,1583,1597,1601,1607,1609,1613,1619,1621,1627,1637,1657,1663,1667,1669,1693,1697, 1699,1709,1721,1723,1733,1741,1747,1753,1759,1777,1783,1787,1789,1801,1811,1823,1831, 1847,1861,1867,1871,1873,1877,1879,1889,1901,1907,1913,1931,1933,1949,1951,1973,1979, 1987,1993,1997,1999,2003,2011,2017,2027,2029,2039,2053,2063,2069,2081,2083,2087,2089, 2099,2111,2113,2129,2131,2179,2207,2221,2251,2273,2333,2339,2347,2351,2377,2383,2389, 2417,2459,2473,2521,2543,2557,2647,2657,2659,2663,2683,2689,2711,2713,2719,2741,2753, 2767,2797,2801,2819,2833,2837,2843,2851,2861,2879,2897,2909,2963,2971,2999,3001,3019, 3023,3061,3079,3089,3109,3119,3137,3167,3187,3203,3209,3229,3251,3257,3271,3299,3307, 3313,3319,3329,3371,3373,3391,3461,3463,3467,3469,3499,3517,3527,3533,3541,3547,3571, 3593,3607,3631,3637,3643,3659,3671,3677,3691,3719,3733,3761,3769,3779,3803,3821,3833, 3847,3881,3911,3923,3929,3943,3947,3967,3989,4013,4021,4027,4049,4051,4057,4073,4091, 4093,4099,4111,4139,4153,4177,4201,4231,4253,4421,4447,4549,4561,4583,4621,4637,4663, 4729,4733,4799,4889,4909,4957,5023,5051,5059,5077,5107,5233,5261,5303,5393,5399,5407, 5417,5419,5471,5479,5507,5527,5531,5569,5573,5623,5639,5651,5653,5717,5779,5851,5903, 5939,5987,6029,6067,6079,6089,6101,6113,6163,6197,6199,6217,6301,6311,6317,6337,6353, 6367,6379,6689,6709,6761,6827,6841,6871,6883,7069,7127,7193,7307,7333,7351,7393,7417, 7457,7643,7741,7907,7927,7963,8101,8147,8161,8233,8423,8689,8861,9371,9419,9421,9433, 9601,9631,9941,10181,10259,10369,10429,10487,11057,11161,11443,11923,12007,12119, 12227,12301,12379,12413,12641,12671,12899,13331, 14461,14897,16253,20857,21433}

A vantagem de usarmos estas rectas para uma primeira validação se um número é primo ou não, é a de que normalmente procuraríamos os primos em todos os ímpares que não terminassem em 5 ou seja números a uma distância média entre eles de 2,5 e com estas rectas procuramos os números primos a uma distância média de 3,8035… ou seja temos um ganho automático de  152,1425…%

Outro olhar sobre os números primos

Pode-se ver no gráfico seguinte de 

255 vezes arccos(cosseno(da 2ª diferença finita dos números primos)) 

que estas andam ao redor de apenas 12 valores que tem diferentes probabilidades de ocorrência e que eventualmente no infinito terão valores que irão preencher de forma homogénea  e com igual probabilidade todos os valores possíveis do contradomínio ou seja de 0 a 255π

Considerando que cos(x)=cos(-x) e verificando a sequência das ocorrências destes valores apresentadas no gráfico seguinte

E fazendo a relação entre cada valor e o valor seguinte como se ilustra no gráfico seguinte

A variável de ocorrências de uma função após a ocorrência de qualquer outra ou da própria seria uma variável aleatória pura se o gráfico acima fosse plano, ora a ocorrência de valores tão diferenciados não fornece probabilidades iguais para a ocorrência de qualquer uma das funções restantes ou da própria, ou seja existe um condicionamento oculto a esta variável que lhe retira o estatuto de variável aleatória pura


Esta abordagem de análise dos números primos revela uma ordem insuspeita dos mesmos e deve ser a única via viável de análise dos mesmos