Dizer que entre os valores Un=30n+1 e Vn=30n+29, para um determinada ordem n existem no máximo 8 números primos demonstra-se de:
1) a união das sucessões Un=30n-29 e Vn=30n-19 contém todos os números primos terminados em 1
2) a união das sucessões Un=30n-17 e Vn=30n-7 contém todos os números primos terminados em 3 com excepção do número primo 3
3) a união das sucessões Un=30n-23 e Vn=30n-13 contém todos os números primos terminados em 7
4) a união das sucessões Un=30n-11 e Vn=30n-1 contém todos os números primos terminados em 9
5) os números primos 2, 3 e 5 são números menores que 31 ou seja números minorantes da sucessão Un=30n+1
Mas as sucessões Un=30n-29, Un=30n-23, Un=30n-19, Un=30n-17, Un=30n-13, Un=30m-11, Un=30n-7 e Un=30n-1,
contém a partir da ordem de um número resultante da sucessão p,
ou da ordem de um número resultante da sucessão que seja um número múltiplo de p,
de p em p elementos de ordem da sucessão,
um número resultante da sucessão que é um número múltiplo de p.
Cada uma das 8 sucessões contém múltiplos de 7, de 7 em 7 elementos da sucessão e
Fica então demonstrado que entre os valores Un=30n+1 e Vn=30n+30,
Ou seja
1) a união das sucessões Un=30n-29 e Vn=30n-19 contém todos os números primos terminados em 1
2) a união das sucessões Un=30n-17 e Vn=30n-7 contém todos os números primos terminados em 3 com excepção do número primo 3
3) a união das sucessões Un=30n-23 e Vn=30n-13 contém todos os números primos terminados em 7
4) a união das sucessões Un=30n-11 e Vn=30n-1 contém todos os números primos terminados em 9
5) os números primos 2, 3 e 5 são números menores que 31 ou seja números minorantes da sucessão Un=30n+1
Mas as sucessões Un=30n-29, Un=30n-23, Un=30n-19, Un=30n-17, Un=30n-13, Un=30m-11, Un=30n-7 e Un=30n-1,
contém a partir da ordem de um número resultante da sucessão p,
ou da ordem de um número resultante da sucessão que seja um número múltiplo de p,
de p em p elementos de ordem da sucessão,
um número resultante da sucessão que é um número múltiplo de p.
Cada uma das 8 sucessões contém múltiplos de 7, de 7 em 7 elementos da sucessão e
para a sucessão
Un=30n-11 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 2, 9,
16, ...} ou seja n=7m-5
para a sucessão
Un=30n-13 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 3, 10, 17,
...} ou seja n=7m-4
para a sucessão
Un=30n-29 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 4, 11, 18,
...} ou seja n=7m-3
para a sucessão
Un=30n-17 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 5, 12, 19,
...} ou seja n=7m-2
para a sucessão
Un=30n-19 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 6, 13, 20,
...} ou seja n=7m-1
para a sucessão
Un=30n-7 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 7, 14,
21, ...} ou seja n=7m
para a sucessão
Un=30n-23 o conjunto de múltiplos de 7 é dado por n pertencente a { 8, 15, 22,
...} ou seja n=7m+1
Porque para n=1 o
conjunto contém o número 1 que não é um número primo,
podemos concluir
que para qualquer n>1 um dos elementos de uma das sucessões acima é
obrigatoriamente um número múltiplo de 7
para qualquer número de ordem n que seja determinado, existem no máximo 7 números primos.
Ou seja, que com excepção dos primeiros 30 números naturais [1, 30],
todos os outros grupos de trinta números naturais subsequentes,
definidos por [30n, 30n+30], contém no máximo 7 números primos.
Ou seja a quantidade dos primos p em relação à quantidade de números naturais n,
é inferior a 7 números primos por cada 30 números naturais
ou seja a cardinalidade dos números naturais sobre a cardinalidade dos números primos é
estritamente superior a 30/7 ou seja superior a 4,(285714) números naturais por cada número primo.
A partir do estudo dos números múltiplos dos números primos existentes na sucessão un=2x3x5n-29, deduz-se que a probabilidade de um número natural n ser primo pode ser dada por
Que tende por hipótese para zero, quando n tende para infinito e então
E considerando pk≥7 podemos ajustar α(pk) a uma sucessão aproximada do tipo
A partir do estudo dos números múltiplos dos números primos existentes na sucessão un=2x3x5n-29, deduz-se que a probabilidade de um número natural n ser primo pode ser dada por
Que tende por hipótese para zero, quando n tende para infinito e então
Como
Podemos reescrever o multiplicatório relacionando-o com esta sucessão que é uma função de pk e reescrever o somatório do múltiplicatório
na forma
E de 1/7+(1-1/7)/11+(1-1/7)(1-1/11)/13+(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)/17+…=1
A probabilidade de um número natural maior ou igual a 7 ser
um número primo vém então aproximadamente igual a
E resolvendo o somatório em função de alfa obtemos
E considerando pk≥7 podemos ajustar α(pk) a uma sucessão aproximada do tipo
Em que
a1≈0,00025, a2≈0,99877, a3≈0,00127, a4≈0,448154823950443 e a5≈0,82772
Como todos os
parâmetros acima afectam alfa linearmente, podemos fixar 4 e aproximar alfa
pela variação de apenas um dos parâmetros.
Assim escolhemos
para este efeito o parâmetro a4.
Podemos ainda
escrever alfa na forma
Em que x é
a maior solução de entre as duas soluções da seguinte função quadrática
A aproximação da
sucessão acima à sucessão real de alfa verifica a inequação abaixo
Ou seja
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