Análise da razão entre os números inteiros e os números
primos #N/#P=?
n/2 - quantidade dos números pares
no conjunto dos inteiros logo é a cardinalidade dos números inteiros que são
pares.
n/6 - quantidade dos múltiplos de
3 que não são múltiplos de 2 nos inteiros logo é a cardinalidade dos números
inteiros que são múltiplos de 3 e não são pares.
n/15 - quantidade dos múltiplos de
5 que não são nem múltiplos de 2 nem múltiplos de 3 nos inteiros logo é a
cardinalidade dos números inteiros que são múltiplos de 5 e que não são nem
múltiplos de 2 nem múltiplos de 3.
4n/1065 - quantidade de múltiplos
de 71 que não são nem múltiplos de 2 nem de 3 nem de 5 nos números inteiros
logo é a cardinalidade dos números inteiros que são múltiplos de 71 e que não
são múltiplos nem de 2 nem de 3 nem de 5.
Existem 2130/30*8-1=567 sucessões
do tipo 2130n-m, em que m é um ímpar menor que 2130, que contém cada uma delas primos
terminados ou em 1 ou em 3 ou em 7 ou em 9 e que contém ainda números múltiplos
de todos os primos que são diferentes de 2, 3, 5 e 71.
Estas sucessões são todas
similares na forma como representam o menor factor múltiplo de cada um dos
números não primos destas sucessões, sendo que estes factores são sempre
diferentes de 2, 3, 5 e de 71.
Em cada uma destas sucessões em
cada intervalo de 7 números existe um múltiplo de 7.
Em cada uma destas sucessões em
cada intervalo de 11 números existe um múltiplo de 11.
Em cada uma destas sucessões em
cada intervalo de 13 números existe um múltiplo de 13.
E de uma forma geral podemos dizer
que para qualquer uma destas sucessões em cada intervalo de p números existe um
múltiplo de p para p primo diferente de 2, 3, 5 e 71.
É de notar que cada um destes
múltiplos de p pode ser ainda múltiplo de um ou de mais outros números primos o
que dificulta o cálculo da sua cardinalidade.
O conjunto dos números que não são
primos está incluído nos números naturais e tem de ter uma cardinalidade
inferior à cardinalidade dos números naturais.
A quantidade dos factores
múltiplos mais pequenos de cada um dos números não primos destas sucessões,
pode ser facilmente obtida em função do número de ordem a partir do seguinte
desenvolvimento.
=1/7
=1/11-1/7/11
=1/13-1/7/13-1/11/13+1/7/11/13
=1/17-1/7/17-1/11/17+1/7/11/17-1/13/17+1/7/13/17+1/11/13/17-1/7/11/13/17
=1/19-1/7/19-1/11/19+1/7/11/19-1/13/19+1/7/13/19+1/11/13/19-1/7/11/13/19-1/17/19+1/7/17/19+1/11/17/19+1/13/17/19-1/7/11/17/19-1/7/13/17/19-1/11/13/17/19+1/7/11/13/17/19
=1/23-1/7/23-1/11/23+1/7/11/23-1/13/23+1/7/13/23+1/11/13/23-1/7/11/13/23-1/17/23+1/7/17/23+1/11/17/23+1/13/17/23-1/7/11/17/23-1/7/13/17/23-1/11/13/17/23+1/7/11/13/17/23-1/19/23+1/7/19/23+1/11/19/23+1/13/19/23+1/17/19/23-1/7/11/19/23-1/7/13/19/23-1/7/17/19/23-1/11/13/19/23-1/11/17/19/23-1/13/17/19/23+1/7/11/13/19/23+1/7/11/17/19/23+1/7/13/17/19/23+1/11/13/17/19/23-1/7/11/13/17/19/23
...
Como
f(k)=t(k)(1-1/p(k))
Sendo
t(1)=1/p(1)
E como
t(k+1)=p(k)*t(k)/p(k+1)
Então
f(k+1)=p(k)*t(k)/p(k+1)(1-1/p(k+1))
